Question

已知函數f（x）=（1+cotx）sin²x+msin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）．
（1）當m=0時，求f（x）在區間[

π

8

，

3π

4

]上的取值范圍；
（2）當tana=2時，f(a)=

3

5

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）把m=0代入到f（x）中，然后分別利用同角三角函數間的基本關系、二倍角的正弦、余弦函數公式以及特殊角的三角函數值把
f（x）化為一個角的正弦函數，利用x的范圍求出此正弦函數角的范圍，根據角的范圍，利用正弦函數的圖象即可得到f（x）的值域；
（2）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式及積化和差公式化簡得到關于sin2x和cos2x的式子，把x換成α，根據tanα的值，利用同角三角函數間的基本關系以及二倍角的正弦函數公式化簡求出sin2α和cos2α的值，把sin2α和cos2α的值代入到f（α）=

3

5

中得到關于m的方程，求出m的值即可．

解答：解：（1）當m=0時，f(x)=(1+

cosx

sinx

)sin2x=sin2x+sinxcosx=

1-cos2x+sin2x

2

=

1

2

[

2

sin(2x-

π

4

)+1]，
由已知x∈[

π

8

，

3π

4

]，得sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，從而得：f（x）的值域為[0，

1+ 2

2

]．

（2）因為f(x)=(1+

cosx

sinx

)sin2x+msin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)
=sin²x+sinxcosx+

m(cos π 2 -cos2x)

2

=

1-cos2x

2

+

sin2x

2

-

mcos2x

2

=

1

2

[sin2x-(1+m)cos2x]+

1

2

所以f(α)=

1

2

[sin2α-(1+m)cos2α]+

1

2

=

3

5

①
當tanα=2，得：sin2a=

2sinacosa

sin2a+cos2a

=

2tana

1+tan2a

=

4

5

，cos2a=-

3

5

，
代入①式，解得m=-2．

點評：考查三角函數的化簡、三角函數的圖象和性質、已知三角函數值求值問題．依托三角函數化簡，考查函數值域，作為基本的知識交匯問題，考查基本三角函數變換，屬于中檔題．