Question

已知雙曲線C與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1有相同的焦點，實半軸長為

3

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+

2

與雙曲線C有兩個不同的交點A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O為原點），求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，由已知易求a，c，根據a，b，c的平方關系即可求得b值；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由

OA

•

OB

＞2，可得x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+

2

)(kx2+

2

)=(k2+1)x1x2+

2

k(x1+x2)+2＞2，聯立方程組消掉y，根據韋達定理即可得到關于k的不等式，注意判別式大于0，解出即得k的范圍．

解答：解：（1）設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
由題意知，a=

3

，c=2，∴b²=c²-a²=1，解得b=1，
故雙曲線方程為

x2

3

-y2=1．
（2）將y=kx+

2

代入

x2

3

-y2=1，得(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0
由

1-3k2≠0 △＞0

得k2≠

1

3

，且k²＜1，x1+x2=

6 2 k

1-3k2

，x1x2=

-9

1-3k2

，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由

OA

•

OB

＞2，
得x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+

2

)(kx2+

2

)=(k2+1)x1x2+

2

k(x1+x2)+2=(k2+1)

-9

1-3k2

+

2

k

6 2 k

1-3k2

+2＞2，得

1

3

＜k2＜3．
又k²＜1，∴

1

3

＜k2＜1，解得k∈(-1，-

3

3

)∪(

3

3

，1)，
所以k的取值范圍為（-1，-

3

3

）∪（

3

3

，1）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及雙曲線標準方程的求解，考查向量數量積運算及韋達定理的應用，考查學生的運算能力及對問題轉化能力．