Question

如圖所示，一輛載著重危病人的火車從O地出發，沿射線OA行駛（北偏東α角），其中，在距離O地5a km（a為正數）北偏東β角的N處住有一位醫學專家，其中．現110指揮部緊急征調離O地正東p km的B處的救護車趕往N處載上醫學專家全速追趕載有重危病人的火車，并在C處相遇，經測算當輛車行駛路線與OB圍成的三角形OBC面積S最小時，搶救最及時．
（1）求S關于p的函數關系；
（2）當p為何值時，搶救最及時？

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中射線OA行駛（北偏東α角），其中，在距離O地5a km（a為正數）北偏東β角的N處住有一位醫學專家，其中．我們可能建立直角坐標系，分別求出直線的方程和點的坐標，進而可以得到S關于p的函數關系；
（2）p為何值時，搶救最及時，可轉化為求函數的最小值，根據（1）中的函數解析式，利用基本不等式，可求出函數的最小值，進而得到答案．
解答：解：（1）建立如圖所示的直角坐標系，
∵，∴，，∴N點的坐標為（3a，4a）．
又射線OA的方程為y=3x，
又B（p，0），∴直線BN的方程為
∴．…（4分）
當p=3a時，C（3a，9a），．
當p≠3a時，方程組，解為

∴點C的坐標為．
∴．對p=3a也成立．
∴．…（8分）
（2）由（1）得．
令，∴，
當且僅當，即，此時，上式取等號，∴當Km時，S有最小值，即搶救最及時．…（14分）
點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，其中解答的關鍵是建立平面直角坐標系，將題目中的相關直線、點的方程或坐標具體化，進而擬合出函數模型．