Question

已知向量

a

=（cosx-3，sinx），

b

=（cosx，sinx-3），f（x）=

a

•

b

（1）求函數f（x）的最小正周期及最值；
（2）若x∈[-π，0]，求函數f（x）的單調增區間；π
（3）若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=（cosx-3，sinx），

b

=（cosx，sinx-3），f（x）=

a

•

b

，代入向量數理積公式，求出函數的解析式，根據ω及A值，可確定函數的最小周期及最值；
（2）根據x∈[-π，0]，我們可以根據（1）中函數解析式求出相位角的范圍，進而根據正弦型函數的單調性，得到答案．
（3）若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，我們可以構造一個關于m的不等式組，解不等式組即可得到實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵向量

a

=（cosx-3，sinx），

b

=（cosx，sinx-3），
∴f（x）=

a

•

b

=cos²x-3cosx+sin²x-3sinx=-3

2

sin（x+

π

4

）+1
則函數f（x）的最小正周期T=2π，
函數f（x）的最大值為3

2

+1，最小值為-3

2

+1，
（2）∵x∈[-π，0]，
∴x+

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]
則函數f（x）的單調增區間為[-

3π

4

，-

π

2

]
（3）當x∈[

π

4

，

π

2

]時，x+

π

4

∈[

π

2

，

3π

4

]
f（x）∈[-3

2

+1，-2]
若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立
則m-1＜-3

2

+1，且m+1＞-2
∴-3＜m＜-3

2

+2

點評：本題考查的知識點是三角函數的最值，函數恒成立問題，平面向量數量積的運算，三角函數的性及其求法，正弦函數的單調性，熟練掌握正弦型函數的性質，根據已知條件求出函數的解析式是解答本題的關鍵．