已知函數
.
(1) 當
時，求函數
的單調區間；
(2) 當
時，函數
圖象上的點都在
所表示的平面區域內，求實數
的取值范圍．
(1) 函數
的單調遞增區間為
，單調遞減區間為
;(2) 
．
解析試題分析：本小題主要通過函數與導數綜合應用問題，具體涉及到用導數來研究函數的單調性等知識內容，考查考生的運算求解能力，推理論證能力，其中重點對導數對函數的描述進行考查，本題是一道難度較高且綜合性較強的壓軸題，也是一道關于數列拆分問題的典型例題，對今后此類問題的求解有很好的導向作用.(1)代入的值，明確函數解析式，并注明函數的定義域，然后利用求導研究函數的單調性；（2）利用構造函數思想，構造
，然后利用轉化思想，將問題轉化為只需
，下面通過對進行分類討論進行研究函數的單調性，明確最值進而確定的取值范圍.
試題解析：(1) 當
時，
，
，
由
解得
，由
解得
.
故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為. (6分)
(2) 因函數
圖象上的點都在
所表示的平面區域內，
則當
時，不等式
恒成立，即
恒成立，、
設(
)，只需即可．
由
，
(i) 當
時， 
，
當
時，
，函數
在
上單調遞減，故
成立．
(ii) 當
時，由
，因，所以
，
① 若
，即
時，在區間上，
，
則函數在上單調遞增，在
上無最大值，當
時， 
，此時不滿足條件；
② 若
，即
時，函數在
上單調遞減，
在區間
上單調遞增，同樣在上無最大值，當時， ，不滿足條件．
(iii) 當
時，由
，∵，∴
，
∴，故函數在上單調遞減，故成立．
綜上所述，實數a的取值范圍是． (12分)
考點：(1)函數的單調區間；（2）導數的應用.
芝麻開花課程新體驗系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
為函數
圖象上一點，O為坐標原點，記直線
的斜率
．
（1）若函數
在區間
上存在極值，求實數m的取值范圍；
（2）當 
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
（3）求證：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如下圖，過曲線
：
上一點
作曲線的切線
交
軸于點
，又過
作 軸的垂線交曲線于點
，然后再過作曲線的切線
交軸于點
，又過
作軸的垂線交曲線于點
，
，以此類推，過點
的切線
與軸相交于點
，再過點
作軸的垂線交曲線于點
（
N
）．
(1) 求
、
及數列
的通項公式；(2) 設曲線與切線及直線
所圍成的圖形面積為
，求的表達式； (3) 在滿足(2)的條件下, 若數列
的前
項和為
，求證：
N
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
．
(I)若a=-1，求函數
的單調區間；
(Ⅱ)若函數
的圖象在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為45o，對于任意的t
[1，2]，函數
是的導函數)在區間(t,3)上總不是單調函數，求m的取值范圍；
(Ⅲ)求證：
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。
在
是增函數，求b的取值范圍；
時取得極值，且
時，
恒成立，求c的取值范圍.
＋2x＋m，x∈R
＋2mx＋1.
.
的最小正周期
；
，
，
，以及
圍成的平面圖形的面積．
．
在
處的切線垂直于直線
，求該點的切線方程，并求此時函數
對任意的
恒成立，求實數
的取值范圍．
的導函數
，且
，設
，
．
在區間
上的單調性；
；
．