Question

已知函數y=(sinx+cosx)2+2

3

cos2x求它的最大、最小值，并指明函數取最大、最小值時相應x的取值集合．

Answer 1

分析：先對所給的函數的解析進行化簡，得到y=2sin（2x+

π

3

）+1+

3

，再判斷最值及相應的自變量的取值集合．

解答：解：由題y=(sinx+cosx)2+2

3

cos2x=1+sin2x+

3

（1+cos2x）=2sin（2x+

π

3

）+1+

3

它的最大值是3+

3

，此時2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈z，x=kπ+

π

6

，k∈z，函數取最大值時相應x的取值集合{x|x=kπ+

π

6

，k∈z}
它的最小值是3-

3

，此時2x+

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈z，x=kπ-

5π

6

，k∈z，函數取最大值時相應x的取值集合{x|x=kπ+

5π

6

，k∈z}

點評：本題目考查三角函數的最值，解題的關鍵是根據三角恒等變換公式，將所給的三角解析式化簡函數y=Asin（ωx+φ）的形式，再由三角的性質求出最值，及取到最值時相應x的取值集合．