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設平面內兩向量
a
，
b
滿足：
a
⊥
b
，|
a
|=2，|
b
|=1，點M（x，y）的坐標滿足：x
a
+(y2-4)
b
與-x
a
+
b
互相垂直．求證：平面內存在兩個定點A、B，使對滿足條件的任意一點M均有|||
MA
|-|
MB
||等于定值．
分析：由已知可得[x
a
+(y2-4)
b
]•(-x
a
+y
b
)=0，把已知條件代入整理可得M的軌跡是雙曲線，由雙曲線的定義可知，滿足條件的點即為雙曲線的兩焦點，而定值即為雙曲線的實軸長2a
解答：證明：∵
a
⊥
b
，∴
a
•
b
=0
∵x
a
+(y2-4)與
b
-x
a
+y
b
垂直，且|
a
|=2，|
b
|=1
∴[x
a
+(y2-4)
b
]•[-x
a
+
b
] =0
∴-x2
a
2+x
a
•
b
-x(y2-4)
a
•
b
+(y2-4)
b
2=0
整理可得
y2
4
-x2=1
M（x，y）的軌跡是以（0，
5
）（0，-
5
）為焦點的雙曲線
由雙曲線的定義可知當A，B分別為該雙曲線的焦點時，||MA|-|MB||=4
點評：本題以向量垂直為切入點，綜合考查雙曲線的定義的應用，靈活熟練的推理論證及對基本知識的掌握是解決本題的關鍵．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源：全優設計必修四數學蘇教版 蘇教版 題型：044

設平面內兩向量a，b互相垂直，且|a|＝2，|b|＝1，又k與t是兩個不同時為零的實數．

(1)若x＝a＋(t－3)b與y＝－ka＋tb垂直，求k關于t的函數關系式k＝f(t)；

(2)求函數k＝f(t)的最小值．

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科目：高中數學 來源：數學教研室 題型：044

設平面內兩向量a與b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k與t是兩個不同時為零的實數．

(1)若x=a＋(t－3)與y=－ka＋tb垂直，求k關于t的函數關系式k=f(t)；

(2)求函數k=f(t)的最小值．

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設平面內兩向量a、b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又k與t是兩個不同時為零的實數.

(1)若x=a+(t-3)b與y=-ka+tb垂直,求k關于t的函數關系式k=f(t);

(2)求函數k=f(t)的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

設平面內兩向量a與b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k與t是兩個不同時為0的實數.

(1)若x=a+(t2-3)b與y=-ka+tb垂直，求k關于t的函數關系式k=f(t);

(2)試確定k=f(t)的單調區間.

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