Question

已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三個頂點．如圖.

（Ⅰ）寫出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐標，并證明G、F、H三點共線；

（Ⅱ）當直線FH與OB平行時，求頂點C的軌跡．

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：由△OBC三頂點坐標O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），可求得重心G（），外心F（），垂心H（b，）. 當b=時，G、F、H三點的橫坐標均為，故三點共線； 當b≠時，設G、H所在直線的斜率為kGH，F、G所在直線的斜率為kFG. 因為， ， 所以，kGH=kFG，G、F、H三點共線. 綜上可得，G、F、H三點共線. （Ⅱ）解：若FH∥OB，由kFH==0，得 3（b2－b）+c2=0（c≠0，b≠）， 配方得3（b－）2+c2=，即 . 即=1（x≠，y≠0）. 因此，頂點C的軌跡是中心在（，0），長半軸長為，短半軸長為，且短軸在 x軸上的橢圓，除去（0，0），（1，0），（，），（，－）四點.