Question

（2013•東城區一模）數列{a_n}的各項排成如圖所示的三角形形狀，其中每一行比上一行增加兩項，若an=an（a≠0），則位于第10行的第8列的項等于

a⁸⁹

，a₂₀₁₃在圖中位于

第45行的第77列

．（填第幾行的第幾列）

Answer 1

分析：①由于每行的所有數的個數形成等差數列，故可得到前9行的數的個數，從而得出答案；
②由①可知前k行所有a_i的個數為b₁+b₂+…b_k=1+3+…（2k-1）=k²．解出（k-1）²≤2013即可得出答案．

解答：解：①設每行的數的個數為數列{b_n}，則此數列為首項為1，公差為2的等差數列，∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
于是前9行所有a_n的個數為b₁+b₂+…+b₉=

9(1+2×9-1)

2

=81．
∴位于第10行的第8列的項等于a₈₁₊₈=a89=a89．
②由①可知：前k行所有a_i的個數為b₁+b₂+…b_k=1+3+…（2k-1）=k²．
由（k-1）²＜2013，解得k＜1+

2013

，
而44²＜2013＜45²，∴k＜1+44=45．
∴前44行的所有數a_i的個數為44²=1936．
而1936+77=2013，
∴a₂₀₁₃在圖中位于第45行的第77 列．
故答案分別為a⁸⁹，第45行的第77 列．

點評：正確理解每行的所有數的個數形成等差數列，利用等差數列的通項公式和前可知前k行所有a_i的個數為b₁+b₂+…b_k=1+3+…（2k-1）=k²是解題的關鍵．