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精英家教網(wǎng)如圖，點(diǎn)F為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF相切于線段PF的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（　　）
A、
2
3
B、
5
3
C、
2
2
D、
5
9
分析：設(shè)線段PF的中點(diǎn)為M，另一個(gè)焦點(diǎn)F′，利用OM是△FPF′的中位線，以及橢圓的定義求出直角三角形OMF的三邊之長(zhǎng)，使用勾股定理求離心率．
解答：解：設(shè)線段PF的中點(diǎn)為M，另一個(gè)焦點(diǎn)F′，由題意知，OM=b，又OM是△FPF′的中位線，
∴OM=
1
2
PF′=b，PF′=2b，由橢圓的定義知  PF=2a-PF′=2a-2b，
又 MF=
1
2
PF=
1
2
（2a-2b）=a-b，又OF=c，
直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a-b）2+b2=c2，又a2-b2=c2，
可求得離心率 e=
c
a
=
5
3
，故答案選 B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2a．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，1）為圓O上一點(diǎn)．曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為
2
2
的橢圓，點(diǎn)F為其右焦點(diǎn)．過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的右準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線PQ與圓O相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知橢圓C：x2+
y2
a2
=1（a＞1）的離心率為e，點(diǎn)F為其下焦點(diǎn)，點(diǎn)A為其上頂點(diǎn)，過(guò)F的直線l：y=mx-c（其中c=
a2-1
與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足
AP
•
AQ
=
a2(a+c)2-1
2-c2
．
（1）試用a表示m2；
（2）求e的最大值；
（3）若e∈（
1
3
，
1
2
），求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知：橢圓M的中心為O，長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F，AF=5BF．若橢圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，C在AB上的射影為F，且△ABC的面積為5．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）已知圓O：x2+y2=1，直線l：mx+ny=1，試證明：當(dāng)點(diǎn)P（m，n）在橢圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(－1,1)為圓O上一點(diǎn)．曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為的橢圓，點(diǎn)F為其右焦點(diǎn)．

過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的右準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線PQ與圓O相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(理)如圖,與拋物線x2=-4y相切于點(diǎn)A(-4,-4)的直線l分別交x軸、y軸于點(diǎn)F、E,過(guò)點(diǎn)E作y軸的垂線l0.

(1)若以l0為一條準(zhǔn)線,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓恰與直線l也相切,切點(diǎn)為T,求橢圓的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);

(2)若直線l與雙曲線6x2-λy2=8的兩個(gè)交點(diǎn)為M、N,且點(diǎn)A為線段MN的中點(diǎn),又過(guò)點(diǎn)E的直線與該雙曲線的兩支分別交于P、Q兩點(diǎn),記在x軸正方向上的投影為p,且()p2=m,m∈［,］,求(1)中切點(diǎn)T到直線PQ的距離的最小值.

(文)如圖,與拋物線x2=-4y相切于點(diǎn)A(-4,-4)的直線l分別交x軸、y軸于點(diǎn)F、E,過(guò)點(diǎn)E作y軸的垂線l0.

(1)若以l0為一條準(zhǔn)線,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓恰好過(guò)點(diǎn)F,求橢圓的方程;

(2)若直線l與雙曲線6x2-λy2=8的兩個(gè)交點(diǎn)為M、N,且點(diǎn)A為線段MN的中點(diǎn),又過(guò)點(diǎn)E的直線與該雙曲線的兩支分別交于P、Q兩點(diǎn),記在x軸正方向上的投影為p,且()p2=m,m∈［,］,求直線PQ的斜率的取值范圍.

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