Question

設橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為e，A為橢圓上一點，弦AB，AC分別過焦點F₁，F₂．
（I）若∠AF₁F₂=α，∠AF₂F₁=β，試用α，β表示橢圓的離心率e；
（II）設=λ₁，=λ₂，當A在橢圓上運動時，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

解：（I）設F₁（-c，0），F₂（c，0）．在△AF₁F₂中，由正弦定理得
==，
即|AF₁|=，|AF₂|=，
所以2a=|AF₁|+|AF₂|=+，
=2c（+）=2c•，
得e=．
（II）設A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
①當y₀=0時，λ₁+λ₂=2=；當AB或AC與x軸垂直時，λ₁+λ₂=．
②當AB，AC都不與x軸垂直且y₀≠0時，AC的方程為y=（x-c），
由，
消x得[b²（x₀-c）²+a²y₀²]y²+2b²y₀（x₀-c）y+c²b²y₀²-a²b²y₀²=0．
由韋達定理得 y₂y₀=，
所以y₂=，
所以 λ₂==-=-，
同理可得λ₁==-=-，
故λ₁+λ₂=．
分析：（I）設F₁（-c，0），F₂（c，0）．在△AF₁F₂中，由正弦定理得==，由此能求出e=．
（II）設A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．當y₀=0時，λ₁+λ₂=2=；當AB或AC與x軸垂直時，λ₁+λ₂=．．當AB，AC都不與x軸垂直且y₀≠0時，AC的方程為y=（x-c），由此能證明λ₁+λ₂=．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，橢圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．