Question

（2010•珠海二模）（文）在△ABC中，A點的坐標為（3，0），BC邊長為2，且BC在y軸上的區(qū)間[-3，3]上滑動．
（1）求△ABC外心的軌跡方程；
（2）設直線l：y=3x+b與（1）的軌跡交于E，F(xiàn)兩點，原點到直線l的距離為d，求

|EF|

d

的最大值．并求出此時b的值．

Answer 1

分析：（1）設B點的坐標為（0，y₀），則C點坐標為（0，y₀+2）且-3≤y₀≤1，則由BC邊的垂直平分線，AB的垂直平分線即可求的△ABC外心的軌跡方程
（2）將y=3x+b代入y²=6x-8得9x²+6（b-1）x+b²+8=0．，由y²=6x-8及-2≤y≤2，得

4

3

≤x≤2．則問題轉(zhuǎn)化為9x²+6（b-1）x+b²+8=0在區(qū)間[

4

3

，2]上有兩個實根，結合方程的根的分布可求b的范圍，根據(jù)弦長公式|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

可得|EF|=

1+k2

|x1-x2|=

2

3

10

•

-2b-7

，再由原點到直線l的距離為d=

|b|

10

，，代入結合二次函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：（文）（1）設B點的坐標為（0，y₀），則C點坐標為（0，y₀+2）（-3≤y₀≤1），
則BC邊的垂直平分線為  y=y₀+1①，AB的垂直平分線為y-

y0

2

=

3

y0

(x-

3

2

)②
由①②消去y₀，得y²=6x-8．
∵-3≤y₀≤1，
∴-2≤y=y₀+1≤2．
故所求的△ABC外心的軌跡方程為：y²=6x-8（-2≤y≤2）．
（2）將y=3x+b代入y²=6x-8得9x²+6（b-1）x+b²+8=0．
由y²=6x-8及-2≤y≤2，得

4

3

≤x≤2．
所以方程①在區(qū)間[

4

3

，2]有兩個實根．
設f（x）=9x²+6（b-1）x+b²+8，則方程③在[

4

3

，2]上有兩個不等實根的充要條件是

△=[6(b-1)]2-4•9(b2+8)＞0 f( 4 3 )=9•( 4 3 )2+6(b-1)• 4 3 +b2+8≥0 f(2)=9•22+6(b-1)•2+b2+8≥0 4 3 ≤ -6(b-1) 2•9 ≤2

解之得-4≤b≤-3．
∵|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

[ 2 3 (b-1)]2-4• b2+8 9

=

2

3

-2b-7

 
∴由弦長公式，得|EF|=

1+k2

|x1-x2|=

2

3

10

•

-2b-7

又原點到直線l的距離為d=

|b|

10

，
∴

|EF|

d

=

20

3

-2b-7 b2

=

20

3

- 7 b2 - 2 b

=

20

3

-7( 1 b + 1 7 )2+ 1 7

∵-4≤b≤-3，∴-

1

3

≤

1

b

≤-

1

4

．
∴當

1

b

=-

1

4

，即b=-4時，|

EF

d

|max=

5

3

．

點評：本題主要考查了直銷方程的求解，直線與拋物線的相交關系的應用，方程的根與系數(shù)關系的應用，方程的實根分布問題的應用，點到直線的距離公式等知識的綜合應用，試題具有一定的綜合性．