Question

如圖，已知A（-3，0），B、C兩點分別在y軸和x軸上運動，并且滿足

AB

•

BQ

=0，

BC

=

1

2

CQ

．
（1）求動點Q的軌跡方程；
（2）設過點A的直線與Q的軌跡交于E、F兩點，A′（3，0），求直線A′E、A′F的斜率之和．

Answer 1

分析：（1）設點B、C、Q的坐標，得到所用向量的坐標，聯立

AB

•

BQ

=0，

BC

=

1

2

CQ

，消掉參數得答案；
（2）直接設出過點A的直線方程，和拋物線方程聯立后消去y，得到關于x的一元二次方程，利用根與系數關系得到E，F的橫坐標的和與積，由兩點式求出直線A′E、A′F的斜率，整理后代入根與系數關系得答案．

解答：解：（1）設點B、C、Q的坐標分別為（0，b）、（c，0）、（x，y），
則

AB

=(3，b)，

BC

=(c，-b)，

CQ

=(x-c，y)，

BQ

=(x，y-b)．
由

AB

•

BQ

=0，

BC

=

1

2

CQ

．
得

3x+b(y-b)=0 -b= 1 2 y

，消去b得：y²=4x；
（2）設過過點A的直線方程為：y=k（x+3），
聯立

y=k(x+3) y2=4x

，消去y得：k²x²+（6k²-4）x+9k²=0．
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
則x1+x2=

4-6k2

k2

，x1x2=9．
∴kA′E+kA′F=

y1

x1-3

+

y2

x2-3

=

y1(x2-3)+y2(x1-3)

(x1-3)(x2-3)

=

k(x1+3)(x2-3)+k(x2+3)(x1-3)

x1x2-3(x1+x2)+9

=

2k(x1x2-9)

x1x2-3(x1+x2)-9

=

2k(9-9)

x1x2-3(x1+x2)-9

=0．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了平面向量的數量積運算，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，訓練了“設而不求”的解題思想方法，是中高檔題．