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一次研究性課堂上，老師給出函數f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)，甲、乙、丙三位同學在研究此函數時分別給出命題：
甲：函數f（x）的值域為（-1，1）；
乙：若x1≠x2則一定有f（x1）≠f（x2）；
丙：若規定f1（x）=f（x），fn（x）=f（f1（x）），則fn（x）=
x
1+nx
，對任意的n∈N*恒成立
你認為上述三個命題中正確的個數有（　　）
A、3個B、2個C、1個D、0個
分析：利用奇函數的定義判斷出f（x）為奇函數，通過對x的分段討論去掉絕對值轉化為分段函數，討論x≥0的值域、單調性判斷出甲、乙說的對利用已知的遞推關系求出fn（x），判斷出丙的說法不對．
解答：解：∵f（-x）-f（x）
∴f（x）為奇函數
∵f(x)=
x
1+|x|
= 
x
1+x
(x≥0)
x
1-x
(x＜0)

當x≥0時，f(x)=
x
1+x
=1-
1
1+x
∈[0，1)
∵f（x）為奇函數，
∴當x＜0是，f（x）∈（-1，0）
總之，f（x）∈（-1，1）
故甲對
當x≥0時，f(x)=
x
1+x
=1-
1
1+x
∈[0，1)為增函數，
∵f（x）為奇函數
∴當x＜0是，f（x）∈（-1，0）為增函數
所以f（x在（-1，1）上為增函數
故乙對
fn（x）=f（f1（x））=f（f（x）=
x
1+|x|
1+|
x
1+|x|
|
=
x
1+2|x|
=
x
1+nx
不恒成立
故丙不對
故選B
點評：通過對自變量分段討論將含絕對值的函數轉化為分段函數，解決分段函數的性質問題一般分段討論研究．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

一次研究性課堂上，老師給出了函數f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)，三位同學甲、乙、丙在研究此函數時分別給出命題：
①函數f（x）的值域為（-1，1）；
②若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）
③若規定f1（x）=f（x），fn（x）=f（fn-1（x）），則fn(x)=
x
1+n|x|
對任意n∈N*恒成立．
你認為上述三個命題中正確的個數是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

一次研究性課堂上，老師給出函數f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)，三位同學甲、乙、丙在研究此函數時分別依次對應給出下列命題
①函數f（x）的值域為（-1，1）；
②若x1≠x2，則一定有f （x1）≠f （x2）；
③若規定f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))， 則 fn(x)=
x
1+n|x|
對任意n∈N*恒成立．
你認為上述三個命題中正確的題號是
①②③
①②③
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

一次研究性課堂上，老師給出函數f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)，三位同學在研究此函數時給出以下命題：
①函數f（x）的值域為[-1，1]；     
②若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）；
③對任意的x1，x2∈R，存在x0，使得f（x1）+f（x2）=2f（x0）成立；
④若規定f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))， 則 fn(x)=
x
1+n|x|
對任意n∈N*恒成立．
你認為上述命題中正確的是
②③
②③
．（請將正確命題的序號都填上）

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科目：高中數學 來源： 題型：

一次研究性課堂上，老師給出函數f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)，三位同學甲、乙、丙在研究此函數時分別給出命題：
①函數f（x）的值域為(-
1
2
，
1
2
)；
②若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）；
③若規定f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))， 則 fn(x)=
x
1+n|x|
對任意n∈N*恒成立．
你認為上述三個命題中正確的是
 
．

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