Question

（1）某三棱錐的側視圖和俯視圖如圖所示，求三棱錐的體積．
（2）過直角坐標平面xOy中的拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F作一條傾斜角為

π

4

的直線與拋物線相交于A，B兩點．用p表示A，B之間的距離．

Answer 1

分析：（1）由三棱錐的側視圖和俯視圖，先求出該三棱錐的高，由此能求出其體積．
（2）焦點F（1，0），過拋物線的焦點且傾斜角為

π

4

的直線方程是y=x-

p

2

，由

y2=2px y=x- p 2

，得x2-3px+

p2

4

=0，由此能用p表示A，B之間的距離．

解答：解：（1）由三棱錐的側視圖和俯視圖，
知該三棱錐的高h=

42-22

=

12

=2

3

，
∴V=

1

3

×

1

2

×6×2×2

3

=4

3

．
（2）焦點F（1，0），過拋物線的焦點且傾斜角為

π

4

的直線方程是y=x-

p

2

，
由

y2=2px y=x- p 2

，得x2-3px+

p2

4

=0，
∴x_A+x_B=3p，xAxB=

p2

4

，
∴|AB|=x_A+x_B+p=4p．

點評：第（1）考查三棱錐的體積的求法，第（2）題考查拋物線的焦點弦的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．