Question

如圖，在三棱錐中，底面, 為的中點(diǎn),.

（1）求證：平面；
（2）求點(diǎn)到平面的距離。

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）點(diǎn)到平面的距離為.

解析試題分析：本題以三棱錐為幾何背景考查線面垂直的判斷和點(diǎn)到面的距離的求法，可以運(yùn)用傳統(tǒng)幾何法求解，突出考查空間想象能力和計(jì)算能力.第一問,先利用線面垂直平面，得到線線垂直，由等腰三角形，得，由上述兩個(gè)條件得平面；第二問，利用第一問可得面面，利用面面垂直的性質(zhì)，得到的距離即為到面的距離，在直角三角形中，用等面積法表示.法二：第二問，等體積法求點(diǎn)面距離，，即，得.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f1/3/mldpy1.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以        2分
又因?yàn)樵?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/34/b/6rrce.png" style="vertical-align:middle;" />中，，為的中點(diǎn)，
所以     4分
又平面，平面，且，
所以平面   6分
（2）法一：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1c/a/122ea4.png" style="vertical-align:middle;" />平面且平面
所以平面平面，             8分
又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2e/3/1rg744.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以點(diǎn)到的距離即為點(diǎn)到平面的距離，        10分
在直角三角形中，由                 11分
得                     13分
所以點(diǎn)到平面的距離為 .          14分
法二：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為， 據(jù)      8分
即，得         13分
所以點(diǎn)到平面的距離為 .          14分
考點(diǎn)：1.線面垂直的判定定理；2.面面垂直的性質(zhì)；3.等體