Question

（2013•黑龍江二模）已知函數f（x）=lnx，x₁，x₂∈（0，

1

e

），且x₁＜x₂，則下列結論中正確的是（　　）

• A．（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0
• B．f（

  x1+x2

  2

  ）＜f（

  f(x1)+f(x2)

  2

  ）
• C．x₁f（x₂）＞x₂f（x₁）
• D．x₂f（x₂）＞x₁f（x₁）

Answer 1

分析：根據函數的單調性可得A不正確；根據函數的圖象是下凹的，可得B不正確； 利用導數判斷函數

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數，故有

f(x2)

x2

＞

f(x1)

x1

，
化簡可得 x₁f（x₂）＞x₂f（x₁），故C正確、且D不正確．

解答：解：由于已知函數f（x）=lnx在定義域（0，+∞）上是增函數，x₁，x₂∈（0，

1

e

），且x₁＜x₂ ，可得[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
故（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，故A不正確．
由于已知函數f（x）=lnx的增長速度較慢，圖象是下凹型的，故有f（

x1+x2

2

）＞f（

f(x1)+f(x2)

2

），故B不正確．
∵已知函數f（x）=lnx，x₁，x₂∈（0，

1

e

），且x₁＜x₂ ，則 [

f(x)

x

]′=

f′(x)x-f(x)

x2

=

1-lnx

x2

＞0，
∴函數

f(x)

x

 在（0，+∞）上是增函數，故有

f(x2)

x2

＞

f(x1)

x1

，化簡可得 x₁f（x₂）＞x₂f（x₁），故C正確、且D不正確．
故選C．

點評：本題主要考查導數的運算法則的應用，利用導數研究函數的單調性，函數的單調性的應用，屬于中檔題．