Question

（2013•資陽二模）如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，D、E分別為A₁B₁、AA₁的中點，點F在棱AB上，且AF=

1

4

AB．
（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）在棱AC上是否存在一個點G，使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1：15，若存在，指出點G的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）取AB的中點M，根據AF=

1

4

AB，得到F為AM的中點，又Q為AA₁的中點，根據三角形中位線定理得EF∥A₁M，從而在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁DBM為平行四邊形，進一步得出EF∥BD．最后根據線面平行的判定即可證出EF∥平面BC₁D．
（II）對于存在性問題，可先假設存在，即假設在棱AC上存在一個點G，使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1：15，再利用棱柱、棱錐的體積公式，求出AG與AC的比值，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：證明：（I）取AB的中點M，∵AF=

1

4

AB，∴F為AM的中點，
又∵Q為AA₁的中點，∴EF∥A₁M
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，M分別為A₁B₁，AB的中點，
∴A₁D∥BM，A₁D=BM，
∴A₁DBM為平行四邊形，∴AM∥BD
∴EF∥BD．
∵BD?平面BC₁D，EF?平面BC₁D，
∴EF∥平面BC₁D．
（II）設AC上存在一點G，使得平面EFG將三棱柱分割成兩部分的體積之比為1：15，
則VE-AFG：VABC-A1B1C1=1：16，
∵

VE-AFG

VABC-A1B1C1

=

1 3 × 1 2 AF•AGsin∠GAF•AE

1 2 AB•ACsin∠CAB•AA1

=

1

3

×

1

4

×

1

2

×

AG

AC

=

1

24

•

AG

AC

∴

1

24

•

AG

AC

=

1

16

，∴

AG

AC

=

3

2

，
∴AG=

3

2

AC＞AC．
所以符合要求的點G不存在．

點評：本題考查線面平行，考查棱柱、棱錐、棱臺的體積的計算，解題的關鍵是利用線面平行的判定證明線面平行，屬于中檔題．