Question

f（x）=ax³-3x（a＞0）對于x∈[0，1]總有f（x）≥-1成立，則a的范圍為

 

．

Answer 1

分析：本題是關于不等式的恒成立問題，可轉化為函數的最值問題來求解，先對x分類討論：x=0與x≠0，當x≠0即x∈（0，1]時，得到：a≥

3x-1

x3

，構造函數g(x)=

3x-1

x3

，只需需a≥[g（x）]_max，于是可以利用導數來求解函數g（x）的最值．

解答：解：∵x∈[0，1]總有f（x）≥-1成立，
即ax³-3x+1≥0，x∈[0，1]恒成立
當x=0時，要使不等式恒成立則有a∈（0，+∞）
當x∈（0，1]時，ax³-3x+1≥0恒成立，
即有：a≥

3x-1

x3

在x∈（0，1]上恒成立，令g(x)=

3x-1

x3

，必須且只需a≥[g（x）]_max
由g′(x)=

3(1-2x)

x4

＞0得，x＜

1

2

所以函數g（x）在（0，

1

2

]上是增函數，在[

1

2

，1]上是減函數，所以[g(x)]max=g(

1

2

)=4，即a≥4
綜合以上可得：a≥4．
答案為：[4，+∞）．

點評：本題考查函數的導數，含參數的不等式恒成立為題，方法是轉化為利用導數求函數閉區間上的最值問題，考查了分類討論的數學思想方法．