Question

（2013•成都模擬）對某校高一年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數．根據此數據作出了頻數與頻率的統計表如下：

分組	頻數	頻率
[10，15）	5	0.25
[15，20）	12	n
[20，25）	m	p
[25，30）	1	0.05
合計	M	1

（1）求出表中m、p的值；
（2）若該校高一學生有360人，試估計他們參加社區服務的次數在區間[15，20）內的人數；
（3）學校決定對參加社區服務的學生進行表彰，對參加活動次數在[25，30）區間的學生發放價值80元的學習用品，對參加活動次數在[25，30）區間的學生發放價值60元的學習用品，對參加活動次數在[15，20）區間的學生發放價值40元的學習用品，對參加活動次數在[10，15）區間的學生發放價值20元的學習用品，在所取樣本中，任意取出2人，并設X為此二人所獲得用品價值之差的絕對值，求X的分布列與數學期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）由題知

5

M

=0.25，

12

M

=n，

m

M

=p，

1

M

=0.05，再由5+12+m+1=M，能求出[15，20）組的頻率與組距之比．
（2）由（1）能求出參加服務次數在區間[15，20）上的人數．
（3）所取出兩人所獲得學習用品價值之差的絕對值可能為0元、20元、40元、60元，分別求出P（X=0），P（X=20），P（X=40），P（X=60），由此能求出X的分布列和EX．

解答：解：（1）由題知

5

M

=0.25，

12

M

=n，

m

M

=p，

1

M

=0.05，
又5+12+m+1=M，
解得M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
則[15，20）組的頻率與組距之比a為0.12．…（4分）
（2）由（1）知，參加服務次數在區間[15，20）上的人數為360×0.6=216人．…（7分）
（3）所取出兩人所獲得學習用品價值之差的絕對值可能為0元、20元、40元、60元，
則P（X=0）=

C 2 5 + C 2 12 + C 2 2

C 2 20

=

10+66+1

190

=

77

190

，
P（X=20）=

C 1 5 C 2 12 + C 1 12 C 1 2 + C 1 2 C 1 1

C 2 20

=

60+24+

190

=

86

190

，
P（X=40）=

C 1 5 C 1 2 + C 1 12 C 1 1

C 2 20

=

10+12

190

=

22

190

，
P（X=60）=

C 1 5 C 1 1

C 2 20

=

5

190

．…（10分）
所以X的分布列為：

X	0	20	40	60
P	77 190	86 190	22 190	5 190

EX=0×

77

190

+20×

86

190

+20×

86

190

+40×

22

190

+60×

5

190

=

290

19

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的數學期望和方差，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．