Question

已知A(3，

3

)，O是原點，點P（x，y）的坐標滿足

3 x-y≤0 x- 3 y+2≥0 y≥0.

，
（1）求

OA • OP

| OA |

的最大值；
（2）求z=

OA • OP

| OP |

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）做出滿足條件足

3 x-y≤0 x- 3 y+2≥0 y≥0

的可行域，根據平面向量數量積的幾何意義，可得目標函數

OA • OP

| OA |

表示

OP

在

OA

上的投影，過P作

OA

的垂線PH，垂足為H，易得當P在可行域內移動到直線

3

x-y=0和直線x-

3

y+2=0的交點時，目標函數有最大值．
（2）結合（1）的結論，可得當∠AOP=

5π

6

時，目標函數有最小值，當∠AOP=

π

6

時，目標函數有最大值，進而得到z=

OA • OP

| OP |

的取值范圍．

解答：解：（1）作出可行域如圖，則

OA • OP

| OA |

=|

OP

|cos∠AOP，
又∠AOP是

OA

與

OP

的夾角，
∴目標函數

OA • OP

| OA |

表示

OP

在

OA

上的投影，
過P作

OA

的垂線PH，垂足為H，
當P在可行域內移動到直線

3

x-y=0和直線x-

3

y+2=0的交點B(1，

3

)時，

OP

在

OA

上的投影為|

OH

|最大，此時|

OP

|=|

OB

|=2，∠AOP=∠AOB=

π

6

，
∴

OA • OP

| OA |

的最大值為|

OB

|cos∠AOB=2cos

π

6

=

3

（2）z=

OA • OP

| OP |

=|

OA

|cos∠AOP=2

3

cos∠AOP，
因為∠AOP=[

π

6

，

5π

6

]，所以當∠AOP=

π

6

時，zmax=2

3

cos

π

6

=3；
當∠AOP=

5π

6

時，zmin=2

3

cos

5π

6

=-3．∴z=

OA • OP

| OP |

的取值范圍為[-3，3]．

點評：本題考查的知識點是簡單線性規劃的應用，平面向量數量積的運算，余弦函數的性質，其中根據平面向量數量積運算的幾何意義，分析出目標函數的幾何意義，是解答本題的關鍵．