Question

已知函數f(x)＝x²＋ln x－1.
(1)求函數f(x)在區間[1，e](e為自然對數的底)上的最大值和最小值；
(2)求證：在區間(1，＋∞)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)＝x³的圖象的下方
(3)(理)求證：[f′(x)]ⁿ－f′(xⁿ)≥2ⁿ－2(n∈N^*)

Answer 1

(1)∵f′(x)＝x＋，
當x∈[1，e]時，f′(x)>0.∴函數f(x)在[1，e]上為增函數，
∴f(x)_max＝f(e)＝e²，f(x)_min＝f(1)＝－.
(2)證明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝x²＋ln x－1－x³
則F′(x)＝x＋－2x²＝
＝.
∵當x>1時F′(x)<0，∴函數F(x)在區間(1，＋∞)上為減函數，∴F(x)<F(1)＝－1－<0，
即在(1，＋∞)上，f(x)<g(x)．
∴在區間(1，＋∞)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)＝x³的圖象的下方．
(3)(理)證明：∵f′(x)＝x＋，
當n＝1時，不等式顯然成立；當n≥2時，
∵[f′(x)]ⁿ－f′(xⁿ)＝ⁿ－
＝Cx^n－2＋Cx^n－3＋…＋C，①
[f′(x)]ⁿ－f′(xⁿ)＝C＋C＋…＋Cx^n－2，②
①＋②得[f′(x)]ⁿ－f′(xⁿ)＝
≥C＋C＋…＋C＝2ⁿ－2(當且僅當x＝1時“＝”成立)．
∴當n≥2時，不等式成立．
綜上所述得[f′(x)]ⁿ－f′(xⁿ)≥2ⁿ－2(n∈N_＋)． 

略