Question

已知函數f(α)=

1+ 2 cos(2α- π 4 )

sin(α+ π 2 )

．
（1）若角α為第一象限角，且cosα=

3

5

，求f（α）；
（2）若tanα=2，求f²（α）．

Answer 1

分析：先利用兩角差的余弦公式和誘導公式、倍角公式將已知函數化簡單角α的三角函數式，（1）先利用同角三角函數基本關系式計算sinα的值，再代入函數解析式即可；（2）先利用同角三角函數基本關系式、二倍角公式將f²（α）化簡為關于tanα的三角函數式，最后將已知代入求值即可

解答：解：f(α)=

1+ 2 cos(2α- π 4 )

sin(α+ π 2 )

=

1+ 2 ( 2 2 cos2α+ 2 2 sin2α)

cosα

=

1+cos2α+sin2α

cosα

=

2sin2α+2sinαcosα

cosα

=

2sinα(sinα+cosα)

cosα

（1）∵α為第一象限角，且cosα=

3

5

，
∴sinα=

4

5

∴f（α）=

2sinα(sinα+cosα)

cosα

=

2× 4 5 ×( 4 5 + 3 5 )

3 5

=

56

15

（2）∵tanα=2
∴f²（α）=

4sin2α(sinα+cosα) 2

cos2α

=4tan²α×

sin2α +cos2α+2sinαcosα

sin2α+cos2α

=4tan²α×

tan2α + 1+2tanα

tan2α+1

=4×4×

4+1+4

4+1

=

144

5

點評：本題主要考查了利用兩角差的余弦公式和誘導公式、倍角公式進行化簡和求值的能力，整體代入的思想方法