Question

若集合A={x|x=cos²θ-cosθ+1，θ∈R}，則A=（　　）

• A．[

  3

  4

  ，+∞)
• B．[1，3]
• C．[

  3

  4

  ，3]
• D．[1，+∞]

Answer 1

分析：根據x=cos²θ-cosθ+1，θ∈R，令t=cosθ，則t∈[-1，1]，將函數轉化為關于t的二次函數在[-1，1]上的值域問題，利用二次函數的性質求解即可得到x的取值范圍，從而得到集合A．

解答：解：∵集合A={x|x=cos²θ-cosθ+1，θ∈R}，
∴x=cos²θ-cosθ+1，θ∈R，
令t=cosθ，
則t∈[-1，1]，
∴x=t²-t+1=（t-

1

2

）²+

3

4

，
對稱軸為t=

1

2

∈[-1，1]，
∴當t=

1

2

時，x取得最小值

3

4

，
當t=-1時，x取得最大值為3，
∴x的取值范圍為[

3

4

，3]，
∴A=[

3

4

，3]．
故選C．

點評：本題考查了函數的值域，以三角函數作為背景，運用換元法將函數轉化為二次函數求值域，換元的時候要注意新變量的取值范圍．本題同時考查了二次函數的性質，對于二次函數要注意數形結合的應用，注意抓住二次函數的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．屬于中檔題．