Question

設(shè)函數(shù)f(x)=（x²+ax+a）e^-x，其中x∈R，a是實(shí)常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
(Ⅰ)確定a的值，使f(x)的極小值為0；
(Ⅱ)證明：當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)，f（x）的極大值為3；
(Ⅲ)討論關(guān)于x的方程f(x)+f′(x)=2xe^-x+x^-2(x≠0)的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

解：(Ⅰ)，
令f′(x)=0，解得：x=0或x=2-a，
①當(dāng)a=2時(shí)，f′(x)≤0，此時(shí)無(wú)極值；
②當(dāng)0＜2-a，即a＜2時(shí)，f′(x)和f(x)的變化如下表1，

此時(shí)應(yīng)有f(0)=0，所以，a=0＜2；
③當(dāng)0＞2-a，即a＞2時(shí)，f′(x)和f(x)的變化如下表2，

此時(shí)應(yīng)有f(2-a)=0，即，
所以必有；
綜上所述，當(dāng)a=0或a=4時(shí)，f(x)的極小值為0。
(Ⅱ)若a＜2，則由表1知，應(yīng)有f(2-a)=3，
即，
∴，
設(shè)，則，
由a＜2，故g′(x)＞0，
于是當(dāng)a＜2時(shí)，g(a)＜g(2)=2＜3，即不可能成立；
若a＞2，則由表2知，應(yīng)有f(0)=3，即a=3；
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)極大值為3。
(Ⅲ) ∵，
∴方程可以化為，
進(jìn)而化為，
構(gòu)造函數(shù)，
求導(dǎo)可得，，
由ψ′(x)＞0得x＜0或x＞2，由ψ′(x)＜0得0＜x＜2，
從而ψ(x)在區(qū)間(-∞，0)和(2，+∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)ψ(x)取得極小值。
并且結(jié)合函數(shù)圖象可知：當(dāng)|x|無(wú)限趨近于0時(shí)，ψ(x)＞0并且取值無(wú)限增大，其圖象向上無(wú)限接近y軸，但永遠(yuǎn)也達(dá)不到y(tǒng)軸（此時(shí)y軸足漸近線）；
當(dāng)x＜0并無(wú)限減小時(shí)，ψ(x)＞0并且取值也無(wú)限減小，其圖象在 x軸上方并向左無(wú)限接近x軸，但永遠(yuǎn)也達(dá)不到x軸（此時(shí)x軸是漸近線）；
當(dāng)x＞2并無(wú)限增大時(shí)，ψ(x)＞0并且取值也無(wú)增大，其圖象在第一象限內(nèi)向右上方無(wú)限延伸（如圖所示）
 
因此，當(dāng)a≤0時(shí)，原方程無(wú)實(shí)根；
當(dāng)0＜a＜時(shí)，原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)a=時(shí)，原方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)a＞時(shí)，原方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。