Question

已知動圓P過點N（2，0）并且與圓M：(x+2）²+y²=4相外切，動圓圓心P的軌跡為W，過點N的直線與軌跡W交于A、B兩點。
（Ⅰ）求軌跡W的方程；
（Ⅱ）若，求直線的方程；
（Ⅲ）對于的任意一確定的位置，在直線x=上是否存在一點Q，使得，并說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意可知，
∴，
∴點P的軌跡W是以M、N為焦點的雙曲線的右支，
設其方程為，
則a=1，c=2，∴，
∴軌跡W的方程為。
（Ⅱ）當的斜率不存在時，顯然不滿足，故的斜率存在，
設的方程為，
由得，
又設，
則，
由①②③，解得：，
∵，
∴，
∴，
代入①②，得，，
消去x₁，得，即，
故所求直線的方程為。
 （Ⅲ）問題等價于判斷以AB為直徑的圓是否與直線x=有公共點，若直線的斜率不存在，則以AB為直徑的圓為，可知其與直線x=相交；
若直線的斜率存在，則設直線的方程為，，
由（Ⅱ）知且，
又N（2，0）為雙曲線的右焦點，雙曲線的離心率e=2，
則，
設以AB為直徑的圓的圓心為S，點S到直徑x=的距離為d，則
，
∴，
∵，
∴，即，即直線與圓S相交，
綜上所述，以線段AB為直徑的圓與直線相交；
故對于的任意一確定的位置，在直線上存在一點Q（實際上存在兩點）使得。