Question

已知定義域為R的函數是奇函數．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判斷的單調性并證明；
（Ⅲ）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）在R上為減函數,證明詳見解析；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）思路一、由可求得a的值；
思路二、由于是R上的奇函數，所以，由此也可求得a的值.
（Ⅱ）思路一：根據函數單調性的定義證明；思路二：利用導數證明.
（Ⅲ）因是奇函數，從而不等式等價于

在R上為減函數，由上式得：解此不等式即可.
試題解析：（I）法一、函數的定義域為R，因為是奇函數，所以，
即，故．
法二、由是R上的奇函數，所以，故．
再由，
通過驗證來確定的合理性             4分
（Ⅱ）由（1）知
由上式易知在R上為減函數.
證明：法一、由（1）知
設，則，
所以，所以在R上為減函數.              8分
法二、由（1）知
求導得：，所以在R上為減函數.          8分
（Ⅲ）又因是奇函數，從而不等式等價于

在R上為減函數，由上式得：
即對一切
從而              12分