Question

如圖所示，已知α的終邊所在直線上的一點P的坐標為（-3，4），β的終邊在第一象限且與單位圓的交點Q的縱坐標為

2

10

．
（1）求tan（2α-β）的值；
（2）若

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，求α+β．

Answer 1

分析：（1）由α的終邊所在直線上的一點P的坐標為（-3，4），求得tanα，用倍角公式求出tan2α，由圖可知sinβ，β終邊在第一象限，求tanβ，代入兩角差正切求tan（2α-β）的值；
（2）求α+β，根據(jù)α+β的范圍(

π

2

，

3π

2

)，先求其正弦值，然后可求出角的值．

解答：解：（1）由三角函數(shù)的定義，知tanα=-

4

3

，
∴tan2α=

2×(- 4 3 )

1-( 4 3 )2

=

24

7

．又由三角函數(shù)線知sinβ=

2

10

，
∵β為第一象限角，
∴cosβ=

1-sin2β

=

1-( 2 10 )2

=

7 2

10

，
∴tanβ=

1

7

，∴tan(2α-β)=

24 7 - 1 7

1+ 24 7 × 1 7

=

161

73

．
（2）∵cosα=-

3

5

，

π

2

＜α＜π，
∴sinα=

4

5

．又sinβ=

2

10

，cosβ=

1-sin2β

=

7 2

10

．
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=

4

5

×

7 2

10

-

3

5

×

2

10

=

2

2

．
由

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，得

π

2

＜α+β＜

3π

2

，
∴α+β=

3π

4

．

點評：本題考查了三角函數(shù)的定義、三角恒等變換、化簡、和求值，求值過程中對角的范圍、公式的應用，符號的選取要重點把握．