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已知a>0且a≠1，f（loga x）=（x-）.

（1）試證明函數y=f（x）的單調性.

（2）是否存在實數m滿足：當y=f（x）的定義域為（-1，1）時，有f（1-m）+f（1-m2）＜0?若存在，求出其取值范圍；若不存在，請說明理由.

（3）若函數f（x）-4恰好在（-∞，2）上取負值，求a的值.

（1）證明：由f（loga x）=（x-），得f（x）=（ax-a-x），x∈R，任取x1＜x2，f（x1）-f（x2）=（ -）.a>1時，，a2-1>0；0＜a＜1時，>，a2-1＜0.綜上可得f（x1）＜f（x2），即函數為減函數.

（2）解：因為f（-x）=-（ax-a-x）=-f（x），即函數為奇函數，f（1-m）+f（1-m2）＜0可轉化為f（1-m）＜f（m2-1），所以解得

（3）解：f（x）-4恰好在（-∞，2）的值為負，即當x∈（-∞，2）時，有f（x）-4＜f（2）-4=0，解得a=2±.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax+b，當x∈[a1，b1]時，f（x）的值域為[a2，b2]，當x∈[a2，b2]時，f（x）的值域為[a3，b3]，…當x∈[an-1，bn-1]時，f（x）的值域為[an，bn]，其中a，b為常數，a1=0，b1=1．
（Ⅰ）a=1時，求數列{an}與{bn}的通項；
（Ⅱ）設a＞0且a≠1，若數列{bn}是公比不為1的等比數列，求b的值；
（Ⅲ）若a＞0，設{an}與{bn}的前n項和分別記為Sn與Tn，求（T1+T1+…+Tn）-（S1+S2+…+Sn）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•松江區二模）已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求證：
DA
•
DB
為定值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（都不同于點E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過定點？若是，請求出此定點的坐標；若不是，說明理由．然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結論（不要求書寫求解或證明過程）．
情形一：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點；
情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點；
情形三：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的頂點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
a
x
+x+(a-1)lnx+15a，F（x）=2x3-3（2a+3）x2+12（a+1）x+12a+2，其中a＜0且a≠-1．
（Ⅰ） 當a=-2，求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ） 若x=-1時，函數F（x）有極值，求函數F（x）圖象的對稱中心的坐標；
（Ⅲ）設函數g（x）=
F(x)，x≤1
f(x)，x＞1
（e是自然對數的底數），是否存在a使g（x）在[a，-a]上為減函數，若存在，求實數a的范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

22.已知集合M是滿足下列性質的函數f（x）的全體：存在非零常數T，對任意x∈R,有f（x+T）=Tf（x）成立.

（1）函數f（x）=x是否屬于集合M？說明理由；

（2）設函數f（x）=ax（a>0且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：f（x）=ax∈M;

（3）若函數f（x）=sinkx∈M,求實數k的取值范圍.

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