Question

（2010•濰坊三模）設數列{a_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N，Sn=n2+

1

2

an．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令bn=λqan+λ（λ，q為常數，q＞0且q≠1），c_n=（b₁+b₂+…+b_n）+n+3，當數列{c_n}為等比數列時，求實數對（λ，q）的值；
（3）若不等式(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)

an+1

＜a-

3

2a

對一切n∈N*都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意令n=1，得a1=1+

1

2

a1，a₁=2．令n=2，得a1+a2=4+

1

2

a2，a₂=4．令n=3，得a1+a2 +a3=9+

1

2

a3，a₃=6．由此猜想：a_n=2n．然后再用數學歸納法證明．
（2）由b_n=λq²ⁿ+λ，知Cn=λn+

λq2(1-q2n)

1-q2

+n+3=3+

λq2

1-q2

-

λq2n+2

1-q2

+(λ+1)n，由此知cn=3•(

3

4

)n為等比數列，從而求出實數對（λ，q）的值．
（3）設g（n）=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）…（1-

1

an

）•

2n+1

，由于

g(n+1)

g(n)

=(1-

1

an+1

)•

2n+3

2n+1

=

4n2+8n+3

4n2+8n+4

＜1．所以g（n+1）＜g（n），由此能夠求出a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意Sn=n2+

1

2

an．
令n=1，得a1=1+

1

2

a1，
∴a₁=2．
令n=2，得a1+a2=4+

1

2

a2，∴a₂=4．
令n=3，得a1+a2 +a3=9+

1

2

a3，∴a₃=6．
由此猜想：a_n=2n．
由數學歸納法證明如下：
①當n=1時，由上面的求解知a₁=2，猜想成立．
②假設n=k（k≥1，k∈N^*）時，猜想成立，
則當n=k+1時，注意到Sn=n2+

1

2

an，n∈N^*，
故Sk+1=(k+1)2+

1

2

ak+1，
Sk=n2+

1

2

an(n∈N*)，
故Sk+1=(k+1)2+

1

2

ak+1，
Sk=k2+

1

2

ak，
兩式相減，得ak+1=2k+1+

1

2

ak+1-

1

2

ak，
∴a_k+1=4k+2-a_k，
由假設a_k=2k，
故a_k+1=4k+2-a_k=4k+2-2k=2（k+1），
∴n=k+1時，猜想也成立．
由①②知，對一切n∈N^*，a_n=2n成立．
（2）依題意，b_n=λq²ⁿ+λ，
∴Cn=λn+

λq2(1-q2n)

1-q2

+n+3
=3+

λq2

1-q2

-

λq2n+2

1-q2

+(λ+1)n，
令

λ+1=0 3+ λq2 1-q2 =0

，

λ=-1 q=± 3 2

．
此時，cn=3•(

3

4

)n為等比數列，
故所求的實數對為（-1，±

3

2

）．
（3）設g（n）=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）…（1-

1

an

）•

2n+1

，
由于

g(n+1)

g(n)

=(1-

1

an+1

)•

2n+3

2n+1

=

4n2+8n+3

4n2+8n+4

＜1．
所以g（n+1）＜g（n），
故g（n）_max=g（1）=

3

2

．
令

3

2

＜a-

3

2a

，
即

(a- 3 )(2a+ 3 )

a

＞ 0，
解得-

3

2

＜a＜0，或a＞

3

．

點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，綜合性強，難度較大，容易出錯．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．