Question

設函數f（x）是定義在（-∞，+∞）上的增函數，如果不等式f（1-ax-x²）＜f（2-a）對于任意x∈[0，1]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由f（x）遞增知，f（1-ax-x²）＜f（2-a）對于任意x∈[0，1]恒成立?1-ax-x²＜2-a對于任意x∈[0，1]恒成立?x²+ax+1-a＞0對于任意x∈[0，1]恒成立，令g（x）=x²+ax+1-a，x∈[0，1]，所以原問題?g（x）_min＞0，根據二次函數性質可求得最小值．

解答：解：∵f（x）是（-∞，+∞）上的增函數，
∴f（1-ax-x²）＜f（2-a）對于任意x∈[0，1]恒成立?1-ax-x²＜2-a對于任意x∈[0，1]恒成立?x²+ax+1-a＞0對于任意x∈[0，1]恒成立，
令g（x）=x²+ax+1-a，x∈[0，1]，所以原問題?g（x）_min＞0，
g（x）圖象的對稱軸方程為x=-

a

2

，
當-

a

2

＜0即a＞0時，g（x）在[0，1]上遞增，所以g（x）_min=g（0）=1-a；
當0≤-

a

2

≤1即-2≤a≤0時，g（x）_min=g（-

a

2

）=-

a2

4

-a+1；
當-

a

2

＞1即a＜-2時，g（x）在[0，1]上遞減，g（x）_min=g（1）=2；

所以g(x)min=

1-a，a＞0 - a2 4 -a+1，-2≤a≤0 2，a＜-2

，
由g（x）_min＞0，解得0＜a＜1．
所以實數a的范圍0＜a＜1．

點評：本題考查函數單調性的性質，考查抽象不等式的求解，解決本題的關鍵是利用函數單調性去掉不等式中的符號“f”．