Question

對于定義域為的函數，若同時滿足下列條件：
①在內單調遞增或單調遞減；②存在區間，使在 上的值域為；那么把叫閉函數.
（1）求閉函數符合條件②的區間；
（2）判斷函數，是否為閉函數？并說明理由；
（3）若是閉函數，求實數的范圍？

Answer 1

（1）
（2）不是閉函數.
（3）

（1）在上遞減，依題意，
  解得
∴所求的區間為.
（2）當時，.
當時，得；
當時，得，
∴的遞增區間為，遞減區間為
∴函數在定義域上不單調遞增或單調遞減，
故函數，不是閉函數.
（3）在定義域上為增.
若是閉函數，則存在區間，在區間上，函數的值域為，即
∴為方程 (*)的兩個實數根，
即方程有兩個不等的實根，
令
當時，有  即
解得.
當時，有   即
此不等式組無解.
綜上所述，.