Question

（本題滿分14分） 在平面直角坐標系中，已知⊙：和⊙：

⑴若直線過點，且被⊙截得的弦長為，求直線的方程；

⑵設為平面上的點，滿足：過點的任意互相垂直的直線和，只要和與⊙和⊙分別相交，必有直線被⊙截得的弦長與直線被⊙截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點的坐標；

⑶將⑵的直線和互相垂直改為直線和所成的角為，其余條件不變，直接寫出所有這樣的點的坐標。（直線與直線所成的角與兩條異面直線所成的角類似，只取較小的角度。）

Answer 1

（本題滿分14分）

解：(1)當直線的斜率不存在時，顯然不符合題意；

當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，即

由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，

結合點到直線距離公式，得： 

解得：或

求直線的方程為：或，即或    ………………4分

(2) 方法一：從形入手。由題意知任意的互相垂直的和均使所截得的弦長相等，我們考慮特殊情況，當互相垂直的和分別過⊙、⊙的圓心時，此時的時等腰直角三角形，可以解得這樣的點的坐標分別為、，   ………………6分

下面對這兩點加以檢驗。

①當為時，根據題意斜率必然存在，設：

：，   ：

  點到的距離為，點到的距離為，所以，

有兩圓半徑相等，所以，即直線被⊙截得的弦長與直線被⊙截得的弦長相等。

   同理可以檢驗，也滿足題意。                       ………………12分

方法二：

設點P坐標為，直線、的方程分別為：

，即：，

因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：圓心到直線與直線的距離相等，

故有：

化簡得： 或

即：，或

關于的方程有無窮多解，有：或

解之得：點P坐標為或。

又檢驗當斜率不存在時，對題意不影響。                ………………12分

⑶有四個點，它們的坐標分別為：、、、

                                                          ………………14分