Question

橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁、F₂，短軸兩端點B₁、B₂，已知F₁、F₂、B₁、B₂四點共圓，且點N（0，3）到橢圓上的點最遠距離為5．
（1）求此時橢圓C的方程；
（2）設斜率為k（k≠0）的直線m與橢圓C相交于不同的兩點E、F，Q為EF的中點，問E、F兩點能否關于過點P（0，）、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由F₁、F₂、B₁、B₂四點共圓，得出b=c，進而得到a²=b²+c²=2b²，再設橢圓的方程（含參數b），設H（x，y）為橢圓上一點，化簡點（0，3）到橢圓上的點的距離，利用其最大值，分類討論求出參數b的值，即得橢圓的方程．
（2）設直線L的方程為y=kx+m，代入．由直線l與橢圓相交于不同的兩點可得△＞0即m²＜32k²+16，要使A、B兩點關于過點P、Q的直線對稱，必須，利用方程的根與系數的關系代入得，從而可求k得范圍
解答：解：（1）∵F₁、F₂、B₁、B₂四點共圓，
∴b=c，
∴a²=b²+c²=2b²，
設橢圓的方程為，N（0，3）
設H（x，y）為橢圓上一點，則|HN|²=x²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b），
①若0＜b＜3，|HN|²的最大值b²+6b+9=50得 （舍去），
②若b≥3，|HN|²的最大值2b²+18=50得b²=16，
∴所求的橢圓的方程為：．
（2）設直線L的方程為y=kx+m，代入得（1+2k²）x²+4kmx+（2m²-32）=0．
由直線l與橢圓相交于不同的兩點知△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-32）＞0，
m²＜32k²+16．②
要使A、B兩點關于過點P、Q的直線對稱，必須
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則，
∵
解得．③
由②、③得
∴，
∵k²＞0，
∴
∴或0
故當或0時，A、B兩點關于過點P、Q的直線對稱．
點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓的方程，直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用，點關于直線的對稱得性質的應用．橢圓的性質及其應用、函數最值的求法等，解題時要注意分類討論思想的合理運用．