Question

某種車輛，購車費10萬元，每年交保險費、養路費及汽油費合計9千元，汽車的維修費平均為：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差數列逐年遞增，問使用多少年平均費用最少？

Answer 1

分析：根據汽車的維修費平均為：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差數列逐年遞增，可得n年汽車的維修費為0.2+0.2+…+0.2n，利用購車費10萬元，每年交保險費、養路費及汽油費合計9千元，即可得到n年的平均費用，利用基本不等式即可得到結論．

解答：解：設n年平均費用最少，則
∵汽車的維修費平均為：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差數列逐年遞增，
∴n年汽車的維修費為0.2+0.2+…+0.2n
∵購車費10萬元，每年交保險費、養路費及汽油費合計9千元
∴n年的平均費用y=

1

n

[(0.2+0.2+…+0.2n)+10+0.9n]（4分）
化簡：y=

n

10

+

10

n

+1 （2分）
∵

n

10

+

10

n

≥ 2

n 10 × 10 n

=2
∴當n=10時，y_min=3 （1分）
答：使用10年平均費用最少． （1分）

點評：本題考查函數模型的構建，考查等差數列，考查利用基本不等式求最值，解題的關鍵是構建函數模型．