Question

設橢圓E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，已知A（a，0），B（0，-b），且原點O到直線AB的距離為

2 3

3

（Ⅰ）  求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知過點M（1，0）的直線交橢圓E于C，D兩點，若存在動點N，使得直線NC，NM，ND的斜率依次成等差數列，試確定點N的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）由e=

2

2

可得a，b之間的關系，由已知可求知直線AB的方程為x-

2

y-

2

b=0，根據點到直線的距離公式可得

| 2 b|

3

=

2 3

3

，從而可求a，b，進而可求橢圓的方程
（II）可先設直線CD的方程為x=ky+1，聯立方程

x=ky+1 x2+2y2=1

可得（k²+2）y²+2ky-3=0y1+y2=

-2k

2+k2

，y1y2=

-3

2+k2

，設N（x₀，y₀）
K_NC+K_ND=

y1-y0

x1-x0

+

y2-y0

x2-x0

=

y1-y0

ky1+(1-x0)

+

y2-y0

ky2+(1-x0)

=

2y0

x0-1

=2KNM，整理可求

解答：解：（I）由e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=

1

2

得a=

2

b（2分）
由點A（a，0），B（0，-b）知直線AB的方程為x-

2

y-

2

b=0
因此

| 2 b|

3

=

2 3

3

，b=2，a=2

2

（4分）
橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1（5分）
（II）設直線CD的方程為x=ky+1
聯立方程

x=ky+1 x2+2y2=1

可得（k²+2）y²+2ky-3=0
故y1+y2=

-2k

2+k2

，y1y2=

-3

2+k2

（7分）設N（x₀，y₀）
K_NC+K_ND=

y1-y0

x1-x0

+

y2-y0

x2-x0

=

y1-y0

ky1+(1-x0)

+

y2-y0

ky2+(1-x0)

=

-6k2+2k2y0-2k(1-x0)-2(1-x0)y0(k2+2)

-3k2-2k2(1-x0)+(1-x0)2(2+k2)

=

2y0

x0-1

=2KNM（10分）
6+2（1-x₀）=0可得x₀=4（13分）
代入①可得

k2×8y0+12y0

12k2+18

=

2y0

3

，回代②可得

2y0

3

，由此說明N的軌跡為直線x=4（15分）
6+2（1-x₀）=0可得x₀=4（13分）
代入①可得

k2×8y0+12y0

12k2+18

=

2y0

3

，回代②可得

2y0

3

，由此說明N的軌跡為直線x=4（15分）

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓的方程，直線與橢圓相交關系的轉化及方程思想的應用，本題的難點是圓錐曲線與直線聯立中方程的求解中的計算．