Question

如圖，過曲線：上一點作曲線的切線交軸于點，又過作 軸的垂線交曲線于點，然后再過作曲線的切線交軸于點，又過作軸的垂線交曲線于點，，以此類推，過點的切線 與軸相交于點，再過點作軸的垂線交曲線于點（N）．

 (1) 求、及數列的通項公式；

 (2) 設曲線與切線及直線所圍成的圖形面積為，求的表達式；

 (3) 在滿足(2)的條件下, 若數列的前項和為，求證：N.

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 解: 由，設直線的斜率為，則.

∴直線的方程為.令，得，           ……2分

∴， ∴.

∴.

∴直線的方程為.令，得.         ……4分

一般地，直線的方程為，

由于點在直線上，

∴.

∴數列是首項為，公差為的等差數列.

∴.                                              ……6分

（2）解：

            .       ……8分

（3）證明：.…10分

      ∴，.

 要證明，只要證明，即只要證明。 11分

      證法1：（數學歸納法）

①  當時，顯然成立；

②  假設時，成立，

則當時，，

而.

∴.

∴.

這說明，時，不等式也成立.

由①②知不等式對一切N都成立.        ……14分

證法2:

           .

   ∴不等式對一切N都成立.        ……14分

證法3:令,

則,

當時, ,

∴函數在上單調遞增.

∴當時, .

∵N,

∴, 即.

∴.

∴不等式對一切N都成立.  

【解析】略