Question

某校內有一塊以為圓心，（為常數，單位為米）為半徑的半圓形（如圖）荒地，該校總務處計劃對其開發利用，其中弓形區域（陰影部分）用于種植學校觀賞植物，區域用于種植花卉出售，其余區域用于種植草皮出售.已知種植學校觀賞植物的成本是每平方米20元，種植花卉的利潤是每平方米80元，種植草皮的利潤是每平方米30元.

（1）設（單位：弧度），用表示弓形的面積；
（2）如果該校總務處邀請你規劃這塊土地，如何設計的大小才能使總利潤最大？并求出該最大值.
（參考公式：扇形面積公式，表示扇形的弧長）

Answer 1

（1）；（2）當園林公司把扇形的圓心角設計成時，總利潤取最大值.

解析試題分析：本題考查函數與導數及運用導數求單調區間、最值等數學知識和方法，考查思維能力、運算能力、分析問題與解決問題的能力.第一問，；第二問，先列出總利潤的表達式，構造函數，利用導數判斷單調區間求函數最值.
試題解析：（1），, . 
（2）設總利潤為元，種植草皮利潤為元，種植花卉利潤為，種植學校觀賞植物成本為
，，,
 .
  
設 .
 
上為減函數；
上為增函數.
當時，取到最小值,
此時總利潤最大：.
答：所以當園林公司把扇形的圓心角設計成時，總利潤取最大值。
考點：1.扇形面積；2.弓形面積；3.三角形面積；4.利用導數求最值.