Question

設函數f（x）=ax-（1+a²）x²（a＞0）．區間I={x|f（x）＞0}，定義區間（α，β）的長度為β-α．
（1）求區間I的長度H（a）（用a表示）；
（2）若a∈[3，4]，求H（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）＞0解集，可得區間I長度；
（2）確定H（a）在[3，4]上的單調性，即可求出H（a）的最大值．

解答：解：（1）∵函數f（x）=ax-（1+a²）x²，
∴f（x）=x[a-（1+a²） x]＞0；
∵a＞0，∴

a

1+a2

＞0．
∴f（x）＞0解集為 （0，

a

1+a2

）；
∴區間I長度為H（a）=

a

1+a2

；
（2）由（1）知，H（a）=

a

1+a2

=

1

a+ 1 a

，
∵g（a）=a+

1

a

在[3，4]單調遞增，
∴當a=3時，I取最大值，最大值為

3

10

．

點評：本題考查新定義，考查不等式的解法，考查函數的最值與單調性，正確理解新定義是關鍵．