Question

已知集合，其中，表示

的所有不同值的個數．

（1）已知集合，，分別求，；

（2）求的最小值．

Answer 1

 解：（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，

得l(P)＝5 

由2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，

得l(Q)＝6     

（3）不妨設a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，可得

a₁＋a₂＜a₁＋a₃＜…＜a₁＋a_n＜a₂＋a_n＜a₃＋a_n＜…＜a_n－1＋a_n，

故a_i＋a_j (1≤i＜j≤n)中至少有2n－3個不同的數，即l(A)≥2n－3．

事實上，設a₁，a₂，a₃，…，a_n成等差數列，考慮a_i＋a_j (1≤i＜j≤n)，根據等差數列的性質，當i＋j≤n時， a_i＋a_j＝a₁＋a_i＋j－1；當i＋j＞n時， a_i＋a_j＝a_i＋j－n＋a_n；

因此每個和a_i＋a_j(1≤i＜j≤n)等于a₁＋a_k(2≤k≤n)中的一個，或者等于a_l＋a_n(2≤l≤n－1)中的一個．故對這樣的集合A，l(A)＝2n－3，所以l(A)的最小值為2n－3．