Question

（2012•江蘇二模）如圖，已知正方形ABCD和直角梯形BDEF所在平面互相垂直，BF⊥BD，EF=BF=

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BD．
（1）求證：DE∥平面ACF；
（2）求證：BE⊥平面ACF．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定證明線面平行，設AC∩BD=O，連接FO，即證明DE∥OF；
（2）利用線面垂直的判定證明線面垂直，證明BE⊥AC，BE⊥OF即可．

解答：證明：（1）設AC∩BD=O，連接FO．
因為ABCD是正方形，所以O是BD的中點，
因為BD=2EF，所以DO∥EF且DO=EF，
所以四邊形DOFE是平行四邊形，
所以DE∥OF．…（5分）
因為DE?平面ACF，OF?平面AFC，所以DE∥平面ACF．…（7分）
（2）因為ABCD是正方形，所以BD⊥AC，
因為平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF=BD，所以AC⊥平面BDEF，
因為BE?平面BDEF，所以BE⊥AC．  …（10分）
因為BF=

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BD，所以BF=BO，所以四邊形BOEF是正方形，所以BE⊥OF．  （12分）
因為OF∩AC=O，OF，AC?平面ACF，所以BE⊥平面ACF．       …（14分）

點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，掌握線面平行、線面垂直的判定方法是關鍵．