Question

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)D（1，0），且與直線(xiàn)l：x=-1相切．
（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡C；
（2）過(guò)定點(diǎn)D（1，0）作直線(xiàn)l交軌跡C于A(yíng)、B兩點(diǎn)，E是D點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求證：∠AED=∠BED．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線(xiàn)的定義知，到定點(diǎn)的距離等于到定直線(xiàn)的距離的點(diǎn)的軌跡為拋物線(xiàn)，所以動(dòng)圓圓心M的軌跡為拋物線(xiàn)，再用求拋物線(xiàn)方程的方法求出軌跡C的方程即可．
（2）要證明∠AED=∠BED，只需證明兩個(gè)角的某一三角函數(shù)值相等，且角的范圍相同，可利用這兩角分別為兩條直線(xiàn)的傾斜角，而兩直線(xiàn)斜率相同來(lái)證即可．
解答：解：（1）由題知意：動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為：y²=4x，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以O(shè)（0，0）為頂點(diǎn)，以（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)
（2）①當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，有∠AED=∠BED；
②當(dāng)直線(xiàn)L與X軸不垂直時(shí)，依題意，可設(shè)直線(xiàn)L的方程為y=k（x-1）（k≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組
  消去x并整理，得ky²-4y-4k=0，y₁+y₂=，y₁y₂=-4
則：k₁+k₂=+==
===0．
∴tan∠AED+tan（180°-∠BED）=0，∴tan∠AED=TAN∠BED，
∵0＜∠AED＜，0＜∠BED＜，∴∠AED=∠BED．
綜合①、②可知∠AED=∠BED．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了定義法求軌跡方程，以及直線(xiàn)傾斜角與斜率的關(guān)系，做題時(shí)要認(rèn)真．