Question

設函數f（x）=x³，若0≤θ＜

π

4

時，f（m•tanθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實數m的取值范圍是（　　）

• A．（0，1）
• B．（-∞，0）
• C．（-∞，

  1

  2

  ）
• D．（-∞，1）

Answer 1

分析：根據冪函數的圖象和性質可得函數f（x）=x³為奇函數，且在R上為增函數，進而可將f（m•tanθ）+f（1-m）＞0恒成立，轉化為m•tanθ＞m-1恒成立，結合0≤θ＜

π

4

，進而可化為m＜

-1

tanθ-1

恒成立，求出

-1

tanθ-1

的最小值，可得答案．

解答：解：∵函數f（x）=x³為奇函數，且在R上為增函數
故f（m•tanθ）+f（1-m）＞0恒成立可化為
f（m•tanθ）＞-f（1-m）=f（m-1），即m•tanθ＞m-1恒成立
∵0≤θ＜

π

4

，故0≤tanθ＜1，-1≤tanθ-1＜0
故m•tanθ＞m-1恒成立可轉化為m＜

-1

tanθ-1

令t=tanθ．（0≤t＜1），則函數y=

-1

t-1

在[0，1）上為增函數
即t=tanθ=0時，y=

-1

t-1

=

-1

tanθ-1

取最小值1
故m＜1
即實數m的取值范圍是（-∞，1）
故選D

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的奇偶性，函數恒成立問題，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．