Question

（本題滿分16分）已知：圓C過定點A(0，p)，圓心C在拋物線x²=2py上運動，若MN為圓C在X軸上截和的弦，設|AM|=m，|AN|=n，∠MAN=α,

(1).當點C運動時，|MN|是否變化？寫出并證明你的結論；

(2).求的最大值，并求取得這個最大值時α的值和此時圓C的方程.

 

Answer 1

(1)解法一：過C作CH⊥x軸于H

設C(x₀,)

∴MN=2MH=.

解法二：由題意得：⊙C的方程(x-x₀)²+(y-y₀)²=x₀²+(y₀-1)².

把y=0和x₀²=2py₀代入整理得x²-2x₀x+x₀²+x_p²=0. 解之得方程的兩根分為

x₁=x₀-p，x₂=x₀+p.   ∴ |MN|=|x₁-x₂|=2P.

∴點C運動時，|MN|不會變化，|MN|=2P(定值)

(2)設∠MAN=

∵|OA||MN|=p²，∴

∵，     ∴.

∴.

∵只有當C在O點處時，為直徑上圓周角，其他時候都是劣弧上的圓周角.

∴，

故當時，原式有最大值.

∵∠MAN=，∴∠MCN=2∠MAN=∴y₀=P，x₀=，r=.

所求圓的方程為