Question

已知函數f（x）=|2x-1|+|x+2|+2x（x∈R），
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）已知m∈R，命題p：關于x的不等式f（x）≥m²+2m-2對任意x∈R恒成立；命題q：不等式|x-1|+|x-m|＞1  對任意x∈R恒成立．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡函數f（x）的解析式，作出函數的圖象，數形結合，求得函數的最小值．
（2）解一元二次不等式求得命題p，根據函數的恒成立問題化簡命題q，求得m的范圍，再根據這兩個命題一真一假，求得m的范圍．

解答：解：（1）由函數f（x）=|2x-1|+|x+2|+2x可得
f（x）=

-x-1  ， x＜-2 x+3  ，  -2≤x≤ 1 2 5x+1  ， x＞ 1 2

，作函數f（x）的圖象，
由圖可知f（x）在x=-2 處有最小值1．
（2）由（1）知：1≥m²+2m-2，解得-3≤m≤1，所以命題 p：-3≤m≤1．
對于命題q：不等式|x-1|+|x-m|＞1 對任意x∈R恒成立，|x-1|+|x-m|＞|（x-1）-（x-m）|=|m-1|
∴|m-1|＞1，即 m∈（-∞，0）∪（ 2，+∞）．
而“p或q”為真，“p且q”為假，可知命題p與命題q一真一假．
若“p真q假”時，則

-3≤m≤1 0≤m≤2

，解得 0≤m≤1．
若“p假 q真”時，則

m＜-3，或m＞1 m＜0，或m＞2

，解得m＜-3，或 m＞2．
故實數m的取值范圍是（-∞，-3）∪[0，1]∪（2，+∞）．

點評：本題主要考查復合命題的真假，帶有絕對值的函數，函數的恒成立問題，體現了分類討論、數形結合的數學思想，屬于中檔題．