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設向量
a
=(2cosx，1)，
b
=(cosx，
3
sin2x)，若存在x∈[0，
π
2
]，使得不等式
a
•
b
-k≤0成立，則實數k的最小值是
3
3
．
分析：利用向量數量積坐標運算公式和三角恒等變換，可得
a
•
b
=2sin（2x+
π
6
）+1，從而得到當0≤x≤
π
2
時，
a
•
b
的取值范圍為[0，3]，最后結合不等式恒成立的條件，即可得到實數k的最小值．
解答：解：∵
a
=(2cosx，1)，
b
=(cosx，
3
sin2x)
∴
a
•
b
=2cos2x+
3
sin2x=1+cos2x+
3
sin2x=2sin（2x+
π
6
）+1
∵x∈[0，
π
2
]，得2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]
∴-
1
2
≤sin（2x+
π
6
）≤1，得0≤2sin（2x+
π
6
）+1≤3
即
a
•
b
的取值范圍為[0，3]
∵不等式
a
•
b
-k≤0成立，
∴k≥（
a
•
b
）max，得k≥3，k的最小值為3
故答案為：3
點評：本題給出含有向量數量積的不等式恒成立，求參數k的最小值．著重以向量的坐標運算為載體，考查三角函數和不等式恒成立的知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•陜西）設向量
a
=（1．cosθ）與
b
=（-1，2cosθ）垂直，則cos2θ等于 （　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設平面上有兩個向量
a
=(2cosθ，2sinθ)，θ∈(0，2π)，
b
=(-1，
3
)．
（1）求證：向量
a
+
b
與
a
-
b
的垂直：
（2）當向量
3
a
+
b
與
a
-
3
b
的模相等時，求θ的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設向量
a
=（cosωx，2cosωx），
b
=（2cosωx，sinωx）（x∈R，ω＞0），已知函數f（x）=
a
•
b
+1的最小正周期是
π
2
．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的最大值，并求出f（x）取得最大值的x的集合．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(2cosθ，1)，
b
=(sinθ+cosθ，1)，- 
π
2
＜θ＜
π
2

（I）若
a
∥
b
，求θ的值
（II）設f（θ）=
a
•
b
，求函數f（θ）的最大值及單調遞增區間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(2cosωx，1)，
b
=(sinωx+cosωx，-1)，（ω∈R，ω＞0），設函數f(x)=
a
•
b
(x∈R)，若f（x）的最小正周期為
π
2
．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的單調區間．

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