Question

（1）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于D，DE⊥AC交AC延長線于點E，OE交AD于點F．
（Ⅰ）求證：DE是⊙O的切線；
（Ⅱ）若

AC

AB

=

3

5

，求

AF

DF

的值．
（2）在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建坐標系，已知曲線
C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），已知過點P（-2，-4）的直線L的參數方程為：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，直線L與曲線C分別交于M，N．
（Ⅰ）寫出曲線C和直線L的普通方程；  
（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數列，求a的值．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）連接OD，可得∠OAD=∠OAD=∠DAC，可得OD∥AE，再由AE⊥DE，OD⊥DE，證得DE是⊙O的切線．
（Ⅱ）過D作DH⊥AB于H，求出cos∠DOH=cos∠CAN=

AC

AB

=

3

5

．再由△ADE∽△ADB以及△AEF∽△ODF，可得

AF

DF

=

AE

DO

=

5

8

．
（2）（Ⅰ）把曲線C方程的兩邊同時乘以ρ 可得 ρ²sin²θ=2a•ρ•cosθ，再根據極坐標與直角坐標的互化公式求出它的直角坐標方程，由直線L的參數方程消去參數t，求出它的普通方程．
（Ⅱ）把直線l的參數方程代入 y²=2ax，再利用根與系數的關系，求出t₁+t₂ 和t₁•t₂ 的值，代入|MN|²=|PM||PN|，求出a的值．

解答：解：（1）（Ⅰ）證明：連接OD，可得∠OAD=∠OAD=∠DAC，∴OD∥AE．
又 AE⊥DE，OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線．-----（6分）
（Ⅱ）過D作DH⊥AB于H，則有∠DOH=∠CAN，∴cos∠DOH=cos∠CAN=

AC

AB

=

3

5

．------（6分）
設 OD=5x，則 AB=10x，OH=3x，DH=4x．
∴AH=8x，AD²=80x²，-----（8分）
由△ADE∽△ADB可得  AD²=AE•AB=AE•10x，∴AE=8x．
又△AEF∽△ODF，

AF

DF

=

AE

DO

=

5

8

．------（12分）
（2）解：（Ⅰ）已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），即ρ²sin²θ=2a•ρ•cosθ，即 y²=2ax．
直線L的參數方程

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，兩式相減可得 y=x-2．-------（6分）
（Ⅱ）直線l的參數方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

 （t為參數），
代入 y²=2ax得到 t2-2

2

(4+a)t +8(4+a)=0，
則有 t₁+t₂=2

2

（4+a），t₁•t₂=8（4+a），-----------（8分）
因為|MN|²=|PM||PN|，所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4 t₁•t₂=t₁•t₂，
解得 a=1．-----------（12分）

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，等比數列的定義和性質，圓的切線判定定理的應用，屬于基礎題．