Question

函數f(x)對一切實數x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.
(1)求f(0)；
(2)求f(x)；
(3)不等式f(x)＞ax－5當0＜x＜2時恒成立，求a的取值范圍

Answer 1

(1)令x＝1，y＝0，
得f(1＋0)－f(0)＝(1＋2×0＋1)×1＝2，
∴f(0)＝f(1)－2＝－2.
(2)令y＝0，f(x＋0)－f(0)＝(x＋2×0＋1)·x＝x²＋x，
∴f(x)＝x²＋x－2.
(3)f(x)＞ax－5可化為x²＋x－2＞ax－5，
ax＜x²＋x＋3，
∵x∈(0,2)．
∴a＜＝1＋x＋.
當x∈(0,2)時，
1＋x＋≥1＋2，
當且僅當x＝，x＝時取等號，
由∈(0,2)得_min＝1＋2，∴a＜1＋2

略