Question

（2011•上海）定義域為R，且對任意實數x₁，x₂都滿足不等式f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

的所有函數f（x）組成的集合記為M，例如，函數f（x）=kx+b∈M．
（1）已知函數f（x）=

x，x≥0 1 2 x，x＜0

，證明：f（x）∈M；
（2）寫出一個函數f（x），使得f（x₀）∉M，并說明理由；
（3）寫出一個函數f（x）∈M，使得數列極限

lim

n→∞

f(n)

n2

=1，

lim

n→∞

f(-n)

-n

=1．

Answer 1

分析：（1）分類討論，驗證f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立，即可得到結論；
（2）利用條件，構造函數f（x）=-x²，f（x）∉M，再取值驗證即可；
（3）利用條件，構造函數f（x）=

x2，x≥1 x，x＜1

滿足f（x）∈M，驗證條件即可．

解答：解：（1）證明：由題意，當x₁≤x₂≤0或0≤x₁≤x₂時，f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立
設x₁≤0≤x₂，且

x1+x2

2

＜0，
∵

f(x1)+f(x2)

2

-f（

x1+x2

2

）=

1

2

(

1

2

x1+x2)-

1

2

•

x1+x2

2

=

x2

4

≥0
∴f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立
設x₁≤0≤x₂，且

x1+x2

2

≥0，
∵

f(x1)+f(x2)

2

-f（

x1+x2

2

）=

1

2

(

1

2

x1+x2)-

1

2

•

x1+x2

2

=

-x1

4

≥0
∴f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立
∴綜上所述，f（x）∈M；
（2）如函數f（x）=-x²，f（x）∉M
取x₁=-1，x₂=1，則

f(x1)+f(x2)

2

=-1，f（

x1+x2

2

）=0
此時f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

不成立；
（3）f（x）=

x2，x≥1 x，x＜1

滿足f（x）∈M，且

lim

n→∞

f(n)

n2

=

lim

n→∞

n2

n2

=1，

lim

n→∞

f(-n)

-n

=

lim

n→∞

-n

-n

=1．

點評：本題考查新定義，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．