Question

（2011•桂林模擬）已知等差數列{a_n}的各項均為正數，a₁=3，a_n的前n項和為S_n，{b_n}是等比數列，b₁=1且b₂S₂=16，b₃S₃=60．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列、等比數列的通項公式將已知等式用首項、公差、公比表示，解方程組求出公差、公比，求出通項公式
（2）由于通項是一個等差數列與等比數列的積構成的新數列，利用錯位相減法求出數列的前n項和．

解答：解：（1）設數列{a_n}的公差為d，，{b_n}的公比為q，據題意得

(6+d)q=16 (9+3d)q2=60

解得

d=2 q=2

∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1，b_n=2^n-1
（2）∵a_nb_n=（2n+1）•2^n-1
∴T_n=3×2⁰+5×2+7×2²+…+（2n+1）×2^n-1    ①
2T_n=+3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）×2^n-1+（2n+1）×2ⁿ   ②
①-②得-T_n=3+2²+2³+…+2ⁿ-（2n+1）×2ⁿ
∴T_n=（2n-1）×2ⁿ+1

點評：解決等差數列、等比數列問題常用的方法是基本量法；求數列的前n項和問題關鍵是判斷出通項的特點，據特點選擇合適的求和方法．